DIVISION

                                Derivada de la División 

se aplica asi lo de arriba por la derivada del de abajo menos el lo de abajo por la derivada del de arriba y todo eso dividido por lo de abajo al cuadrado es decir

Y=f(x)
Y=1(d(x² + 4))-(x² + 4)(d1)
Y= (1(2x)-(x² + 4)(0))/(x² + 4)²

Vídeo

REGLA DE LA CADENA

Regla de la Cadena 

La regla de la cadena es usada para derivar funciones compuesta. La función ( ) 1

2

h x = x + la

interpretamos como una composición. Si definimos f (x) = x y ( ) 1

2

g x = x + , entonces 

h(x) = ( f ° g)(x) = f (g(x))

La forma de decir la regla de la cadena en la práctica es:

En la notación de Leibniz si consideramos u = g(x), la regla de la cadena queda expresada

como

dx

du

du

dy

dx

dy

= ⋅

Ejemplo 1.- Encuentre la derivada de 3 33 h(x) = (2x + 1)

Solución: Se define la función interna como ( ) 2 1

3

u = g x = x + y la externa como 33 f (u) = u .

Entonces h(x) = ( f ° g)(x) y 

2

g (x) 6x

dx

du

= ′ = y 32 f ′(u) = 33u

Aplicando la regla de la cadena se obtiene

h′(x) = f ′(g(x))⋅ g′(x)

3 2

= f ′(2x + 1) ⋅ 6x

3 32 2

= 33(2x + 1) ⋅ 6x

2 3 32

= 198x (x + 1)

Funciones como la del ejemplo anterior o como ( ) 1

2

h x = x + son de la forma r

(g(x)) , en este

último caso con r = 1/ 2 . Para derivar esta forma podemos usar directamente la siguiente:

32

La derivada de una composición es la derivada de la

función externa, f, evaluada en la interna por la derivada de la

interna.

Video

Ejercicios Resueltos

Calcular la derivada de f(x) = (x² + 1)³.

Resolución:

· Si u = x² + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

· f'(x) = 3 (x² + 1)² · 2x = 6x (x² + 1)²

Resolución:

· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

                           

· Se aplica la regla de la cadena:

‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

· u = sen x; u' = cos x

MULTIPLICACION

Multiplicación de Derivadas

 generalizo así u*v=du*v+u*dv; 
(X2+3x+6)*(x+1)= (2x+3)*(x+1)+(x2+3x+6)*(1); ahora multiplicas miembro a miembro y llevas hasta la minima expresión .
u/v= (du*v-u*dv)/v(elev2); 
(4x2+5x-2)/(x2+1)=
((8x+5)*(x2+1)-(4x2+5x-2)*(2x))/(x2+1)el…
xelev n= n*Xelev(n-1); x5= 5xelev(5-1)= 5xelev4

Vídeo

RESTA

Resta de Derivadas

Sean f y g funciones derivables en x,

entonces f + g y f − g también lo son y 

( f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(( f − g)′(x) = f ′(x) − g′(x) 

La derivada de una suma es la suma de las derivadas. La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.

Vídeo

Ejercicios Resueltos

Ejercicio nº 1)

Sol: 

Ejercicio nº 2) 

Sol: 

Ejercicio nº 3) 

Sol: 

Ejercicio nº 4) 

Sol: 

Ejercicio nº 5) 

Sol: 

Ejercicio nº 6) 

Sol: 

Ejercicio nº 7) 

Sol: 

Ejercicio nº 8) 

Sol: 

SUMA

Suma De Derivadas

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la
suma de las derivadas de dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos,
ya sean positivos o negativos.

             Ejemplos

Vídeo

Ejercicios Resueltos

1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomios.

a).-  

b).-  

c).-  

d).- 

a). – Solución

como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si  entonces

por lo que para la función planteada en el ejercicio:

Recordando que la derivada de una función potencia  es    y que en la derivada de una constante es cero tendremos

es decir 

b). – Solución

Para este caso  

Distribuyendo la derivada tenemos:

y utilizando directamente la fórmula para   la cual es   :

 observamos que al derivar, por ejemplo,   obtenemos    por lo que :

c). – Solución

De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:

como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene 

por lo tanto:

d). – Solución

derivando cada término

Por lo que: