REGLA DE LA CADENA

Regla de la Cadena 

La regla de la cadena es usada para derivar funciones compuesta. La función ( ) 1

2

h x = x + la

interpretamos como una composición. Si definimos f (x) = x y ( ) 1

2

g x = x + , entonces 

h(x) = ( f ° g)(x) = f (g(x))

La forma de decir la regla de la cadena en la práctica es:

En la notación de Leibniz si consideramos u = g(x), la regla de la cadena queda expresada

como

dx

du

du

dy

dx

dy

= ⋅

Ejemplo 1.- Encuentre la derivada de 3 33 h(x) = (2x + 1)

Solución: Se define la función interna como ( ) 2 1

3

u = g x = x + y la externa como 33 f (u) = u .

Entonces h(x) = ( f ° g)(x) y 

2

g (x) 6x

dx

du

= ′ = y 32 f ′(u) = 33u

Aplicando la regla de la cadena se obtiene

h′(x) = f ′(g(x))⋅ g′(x)

3 2

= f ′(2x + 1) ⋅ 6x

3 32 2

= 33(2x + 1) ⋅ 6x

2 3 32

= 198x (x + 1)

Funciones como la del ejemplo anterior o como ( ) 1

2

h x = x + son de la forma r

(g(x)) , en este

último caso con r = 1/ 2 . Para derivar esta forma podemos usar directamente la siguiente:

32

La derivada de una composición es la derivada de la

función externa, f, evaluada en la interna por la derivada de la

interna.

Video

Ejercicios Resueltos

Calcular la derivada de f(x) = (x² + 1)³.

Resolución:

· Si u = x² + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

· f'(x) = 3 (x² + 1)² · 2x = 6x (x² + 1)²

Resolución:

· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

                           

· Se aplica la regla de la cadena:

‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

· u = sen x; u' = cos x